Ответ #1:
Изобразим плоскость и тригонометрическую окружность.
Отложим от луча ОХ угол, равный . Очевидно, что этот луч пересечет тригонометрическую окружность в точке с координатами (1,0). Делаем вывод
,
.
Аналогично докажем:
,
,
,
,
,
,
,
.
Итак, мы нашли значения синусов и косинусов некоторых углов.
Соответственно: ,
.
Выведем еще некоторые соотношения.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой , катетами
и
, и острым углом
.
По соотношениям между сторонами и углами треугольника
,
. А по теореме Пифагора:
. Значит,
,
. Делим на
левую и правую часть и получаем основное тригонометрическое тождество:
Выведем значения еще для некоторых углов.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой , катетами
и
, и острым углом
.
Известно, что в прямоугольном треугольнике против угла лежит катет, равный половине гипотенузы. А прилежащий катет будет равен
. По теореме Пифагора, имеем
,
,
. По основному тригонометрическому тождеству
=
. Аналогично,
,
.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом . Это будет равнобедренный треугольник и оба катета его будут равны
По теореме Пифагора: ,
,
,
.