Площадь треугольника, формула Герона

Ответ #1:

 

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

 

Дано:  - треугольник, ВН - высота.

Доказать:

.

Доказательство:

 

 

Достроим треугольник до параллелограмма АВСD. Треугольники АВС и ВСД равны по трем сторонам (ВD = АС, АВ = СD – как противоположные стороны параллелограмма,  а ВС - общая).

Площадь параллелограмма:  , значит, площадь треугольника: .

 

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения их сторон на синус угла между ними.

 

Дано:  - треугольник.

Доказать:

.

Доказательство:

 

 

Проведем высоту ВН.

,  (по соотношению между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике).

Значит, .

 

Формула Герона для площади треугольника: , где -стороны треугольника, а - полупериметр.

 

 

(*)

По теореме косинусов .

По основному тригонометрическому тождеству:

 = .==

 =.

Значит .

Подставляя это выражение в формулу (*), имеем.