Ответ #1:
По теореме Ферма достаточное условие экстремума . Значит, для того чтобы найти точки «подозрительные» на экстремум, нужно взять производную от функции
, приравнять ее к нулю и решить получившееся уравнение. Однако, не все корни этого уравнения будут экстремумами. Для того чтобы выяснить наверняка, является ли точка точкой экстремума, нужно знать достаточное условие экстремума.
Корни уравнения называют стационарными точками.
Достаточное условие экстремума: Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак, то эта точка является экстремумом. Если меняет знак с «+» на «-», то это точка максимума. Если меняет знак с «-» на «+», то это точка минимума.
Если при переходе через стационарную точку производная не меняет знак, то эта точка не является экстремумом.
Очевидно, что точки, в которых функция принимает максимальное значение на некотором промежутке нужно искать среди точек максимума. А точки, в которых функция принимает минимальное значение - среди точек минимума. Однако нельзя забывать, что максимальное (минимальное) значение функция может принимать и на концах промежутка.
Для нахождения максимального или минимального значения функции применяют следующий алгоритм:
1. Берем производную от функции.
2. Находим стационарные точки, решая уравнение .
3. Проверяем достаточное условие экстремума. Выбираем те точки, в которых это условие выполняется.
4. Вычисляем значения функции в найденных точках и на концах промежутка. Самое маленькое значение будет минимальным значением функции на этом промежутке. А самое большое – максимальным.
Пример: Найти максимальное и минимальное значение функции на промежутке
1. .
2. ;
;
,
. -2 не входит в заданный промежуток.
3. При
< 0, а при
> 0. То есть, достаточное условие экстремума выполняется.
4. Вычислим значения функции в точке экстремума и на концах промежутка:
;
;
.
Ответ: функция принимает минимальное значение на промежутке , при
,
,
функция принимает максимальное значение на промежутке , при
,
.