Ответ #1:
Уравнением называется равенство двух алгебраических выражений. В состав этих алгебраических выражений обычно входят переменные, которые называются неизвестными.
Значения неизвестных, при которых уравнение обращается в истинное равенство, называются решениями (корнями) уравнения. Решить уравнение – это значит найти все его корни.
Уравнения могут быть как с одной, так и с несколькими переменными. Например, – это уравнение с одной переменной,
его единственный корень; а
- уравнение с двумя переменными, оно имеет бесконечно много решений, например пары (1;1), (2;2), (-101,-101)… являются его решениями.
Уравнения могут не иметь решений, иметь одно решение или несколько решений, иметь бесконечно много решений. Уравнение, у которого нет корней, называется неразрешимым.
Примеры:
Уравнение не имеет решений в поле действительных чисел, так как корень всегда число положительное;
Уравнение имеет единственное решение в поле действительных чисел
;
Уравнение имеет три решения в поле действительных чисел
и
;
Уравнение имеет бесконечно много решений в поле действительных чисел, так как любое число, умноженное на ноль, равно нулю.
Два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот – каждое решение второго уравнения является решением первого.
Примеры:
Уравнения и
равносильны, так как решениями и первого, и второго уравнения являются числа 1, 11 и 0. Других решений ни у того, ни у другого уравнения нет.
Уравнения и
не являются равносильными, так как решениями первого уравнения является только число 1, а второго числа 1 и -1. При этом число -1 не является решением первого уравнения.
Иногда при решении уравнений исходное уравнение приходится заменять неравносильным ему уравнением, но таким, что все решения первого будут и решением второго. Особенно часто это приходится делать при решении иррациональных уравнений. Если применяется этот метод, то в конце решения обязательно нужно проверить простой подстановкой в исходное уравнение, не получилось ли лишних корней.
Пример.
Решить уравнение .
Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части в квадрат, помня, что могут появиться лишние корни.
;
;
, или
;
Проверим, нет ли лишних корней
- верно;
, 2=-2 – ложь.
Ответ: 0.