воскресенье, 26 января 2020 г.

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях

Ответ #1:

 

Уравнением  называется равенство двух алгебраических выражений. В состав этих алгебраических выражений обычно входят переменные, которые называются неизвестными.

Значения неизвестных, при которых уравнение обращается в истинное равенство, называются решениями (корнями) уравнения. Решить уравнение – это значит найти все его корни.

 

Уравнения могут быть как с одной, так и с несколькими переменными. Например, Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях – это уравнение с одной переменной, Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях его единственный корень; а  Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях - уравнение с двумя переменными, оно имеет бесконечно много решений, например пары (1;1), (2;2), (-101,-101)… являются его решениями.

 

Уравнения могут не иметь решений,  иметь одно решение или несколько решений, иметь бесконечно много решений. Уравнение, у которого нет корней, называется неразрешимым.

 

Примеры:

Уравнение Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях не имеет решений в поле действительных чисел, так как корень всегда число положительное;

Уравнение Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях  имеет единственное решение в поле действительных чисел Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях;

Уравнение Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях имеет три решения в поле действительных чисел Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях и Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях;

Уравнение Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях имеет бесконечно много решений в поле действительных чисел, так как любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

 

Два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот – каждое решение второго уравнения является решением первого.

 

Примеры:

Уравнения Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях и Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях равносильны, так как решениями и первого, и второго уравнения являются числа 1, 11 и 0. Других решений ни у того, ни у другого уравнения нет.

Уравнения Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях и Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях не являются равносильными, так как решениями  первого уравнения является только число 1, а второго числа 1 и -1. При этом число -1 не является решением первого уравнения.

 

Иногда при решении уравнений исходное уравнение приходится заменять неравносильным ему уравнением, но таким, что все решения первого будут и решением второго. Особенно часто это приходится делать при решении иррациональных уравнений. Если применяется этот метод, то в конце решения обязательно нужно проверить простой подстановкой в исходное уравнение, не получилось ли лишних корней.

 

Пример.

Решить уравнение Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части в квадрат, помня, что могут появиться лишние корни.

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях;

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях;

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях, или Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях;

Проверим, нет ли лишних корней

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях- верно;

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях, 2=-2 – ложь.

 

Ответ: 0.