Средняя линия треугольника

Ответ #1:

 

Средней линией треугольника называется  отрезок, соединяющий середины его сторон

 

 

Для доказательства следующей теоремы необходимо вспомнить теорему Фалеса.

 

Теорема Фалеса: Параллельные прямые, отсекающие на одной стороне угла равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне угла.

 

Теорема. Средняя линия треугольника, проходящая через середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

 

Дано:  - треугольник.

М – середина АВ, N – середина ВС.

Доказать:

МN|| АС, MN = .

Доказательство:

 

 

Проведем через точку М прямую, параллельную АС. По теореме Фалеса, она пройдет через середину ВС, то есть через точку N. Но, так как через две точки проходит только одна прямая, то эта прямая совпадет с MN.

Для доказательства второй части теоремы, проведем прямую МL параллельно прямой ВА. Получим параллелограмм МNLA. Раз это параллелограмм, то МN = AL.

 = (по свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей). = (по свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей). Значит,  = .

 = (по свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

Имеем  = ,  = , ВN = NC (так как MN– средняя линия). Значит, треугольник BMNравен треугольнику NLC. Значит, MN = LC, но, как было сказано выше МN = AL.При этом АС = АL + LC = MN + MN = 2•MN. Следовательно, MN = .