Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла. Перпендикулярные прямые

Ответ #1:

 

Смежные углы – это такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой.

 

 

Теорема. Сумма смежных углов равна 180.

 

Дано:  и - смежные.

Доказать  + =180.

 

 

Доказательство:

Луч ОС проходит между сторонами ОА и ОВ развернутого угла. Поэтому сумма  и равна развернутому углу, т.е. 180.

 

Вертикальные углы – это пары углов с общей вершиной, образуемые при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

 

 

 

Теорема. Вертикальные угла равны.

 

 Дано:  и - вертикальные.

Доказать  = .

Доказательство:

 смежен с , т.е. дополняет его до 180,

 смежен с , т.е. дополняет его до 180.

Видим, что один и тот же угол дополняет оба угла до 180, значит, эти углы равны.

 

Биссектрисой угла называется луч, выходящий из его вершины и делящий его пополам.

На следующем рисунке луч ОС является биссектрисой угла

 

 

Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

 

 

Если прямые АВ и СDперпендикулярны, пишут: АВСD.

 

Теорема. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и, притом, только одну.

 

 

Доказательство:

Возьмем на прямой АВ произвольную точку О. Отложим от луча ОВ угол ВОС равный 90. Прямая, содержащая луч ОС, будет перпендикулярна прямой АВ.

Предположим, что через точку О можно провести еще одну прямую OMперпендикулярную прямой АВ. Пусть луч ОМ этой прямой лежит в той же полуплоскости, что и луч ОС. Получается, что мы от луча ОА отложили в одну полуплоскость два угла равные 90. Значит, прямые ОМ и ОС совпадают.