Определение производной. Ее физический и геометрический смысл

Ответ #1:

 

Рассмотрим график некоторой функции .

 

Отметим на нем некоторую точку А с координатами  и недалеко от нее точку В с координатами  . Проведем через эти точки прямую (АВ). Рассмотрим выражение . Разность равна расстоянию BL, а расстояние АL равно h. Отношение  - это тангенс угла- угла наклона прямой (АВ). Теперь представим себе, что величина h очень и очень мала. Тогда прямая (АВ) почти совпадет с касательной в точке х к графику функции .

 

Итак, дадим определения.

Производной функции  в точке х называется предел отношения  при h стремящемся к нулю. Пишут: .

 

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной.

 

У производной есть еще и физический смысл. В начальных классах давалось определение скорости, как расстояние, деленное на время. Однако, в реальной жизни скорость, например, автомобиля, не постоянна на протяжении всего пути. Пусть путь – это некоторая функция от времени - .Зафиксируем момент времени . За небольшой промежуток времени от  доавтомобиль пройдет путь . За маленький промежуток времени скорость сильно не изменится и поэтому, можно использовать определение скорости, известное с начальной школы.. А при h, стремящемся к нулю, это и будет производная.

 

Итак, физический смысл производной – мгновенная скорость в момент времениt.