Ответ #1:
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Теорема. Диагонали прямоугольника равны.
Дано: - прямоугольник
Доказать:
АС = ВD.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники АВС и АВD.
Сторона АВ у них общая.
ВС = АD (как противоположные стороны параллелограмма)
Оба треугольника прямоугольные, так как - прямоугольник.
Значит треугольники АВС и АВD равны по двум катетам. Следовательно, АС = ВD.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
Дано: - ромб
Доказать:
АС ВD, АС – биссектриса углов А и С,
ВD– биссектриса углов В и D.
Доказательство:
Пусть О – точка пересечения диагоналей ромба.
АО = ОС ( по свойству диагоналей параллелограмма),
ВО = ОD ( по свойству диагоналей параллелограмма),
АВ = ВС = СD = DА (по определению ромба).
Значит треугольники АОВ, ВОС, СОD, DОА равны. Значит равны и углы АОВ, ВОС, СОD, DОА. Эти углы составляют в сумме . Значит, на каждый из них приходится
. Следовательно, диагонали перпендикулярны. Из равенства треугольников АОВ, ВОС, СОD, DОА следует и то, что диагонали являются биссектрисами.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба и прямоугольника.