суббота, 22 февраля 2020 г.

Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Ответ #1:

 

Построим в декартовой системе координат окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Из начала координат проведем луч так, чтобы он составлял с лучом ОХ угол Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Причем, если отложим его против часовой стрелки, то будем считать его положительным, если по часовой стрелке, то направление будем считать отрицательным (то есть, в этом случае угол будет равен (Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике)). Этот луч пересечется с окружностью в некоторой точке М с координатами (х,у).

 

Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Абсцисса точки М ( координата х) – это  Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, а ордината (координата у) – это Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.  На рисункеГеометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике равен длине отрезка ОК, а синус – длине отрезка МК.  Понятно, что, чтобы отложить угол, например,  в Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике нужно пройти по часовой стрелке всю окружность и ещеГеометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, так как Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике= Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике+Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

 

Косинусом  аргумента Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике) называется абсцисса точки пересечения окружности единичного радиуса с центром в начале координат и луча, выходящего из начала координат и составляющего с осью ОХ угол Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

 

Синусом  аргументаГеометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике) называется ордината точки пересечения окружности единичного радиуса с центром в начале координат и луча, выходящего из начала координат и составляющего с осью ОХ угол Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

 

Теперь построим прямоугольный треугольник АВС, один из углов, которого равен Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике и совместим   вершину его угла Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольникес началом координат, так, чтобы катет прилежащий к Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, совпал с осью ОХ.

 

Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

 

Треугольники АВС и ОМК – подобны. Коэффициент подобия Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, так как АМ -  радиус единичной окружности, то Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, значит, Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

 

Из подобия следует: Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике=Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике=Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (*).

Из подобия, еще, следует: Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике=Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике=Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (**)

 

Соотношения (*) и (**) называют соотношениями между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

 

Из этих соотношений следует другое (геометрическое) определение синуса и косинуса.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузеГеометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузеГеометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение синуса к косинусу Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Из этого определения можно вывести еще одно соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника: Геометрическое определение косинуса, синуса и тангенса. Соотношение  между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике