Ответ #1:
Построим в декартовой системе координат окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Из начала координат проведем луч так, чтобы он составлял с лучом ОХ угол . Причем, если отложим его против часовой стрелки, то будем считать его положительным, если по часовой стрелке, то направление будем считать отрицательным (то есть, в этом случае угол будет равен (
)). Этот луч пересечется с окружностью в некоторой точке М с координатами (х,у).
Абсцисса точки М ( координата х) – это , а ордината (координата у) – это
. На рисунке
равен длине отрезка ОК, а синус – длине отрезка МК. Понятно, что, чтобы отложить угол, например, в
нужно пройти по часовой стрелке всю окружность и еще
, так как
=
+
.
Косинусом аргумента (
) называется абсцисса точки пересечения окружности единичного радиуса с центром в начале координат и луча, выходящего из начала координат и составляющего с осью ОХ угол
.
Синусом аргумента (
) называется ордината точки пересечения окружности единичного радиуса с центром в начале координат и луча, выходящего из начала координат и составляющего с осью ОХ угол
.
Теперь построим прямоугольный треугольник АВС, один из углов, которого равен и совместим вершину его угла
с началом координат, так, чтобы катет прилежащий к
, совпал с осью ОХ.
Треугольники АВС и ОМК – подобны. Коэффициент подобия , так как АМ - радиус единичной окружности, то
, значит,
.
Из подобия следует: =
,
=
,
(*).
Из подобия, еще, следует: =
,
=
,
(**)
Соотношения (*) и (**) называют соотношениями между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
Из этих соотношений следует другое (геометрическое) определение синуса и косинуса.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение синуса к косинусу .
Из этого определения можно вывести еще одно соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника: