Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы, квадрат разности

Ответ #1:

 

Для любых a и b верны равенства:

a² - b² = (a – b)(a + b) (разность квадратов)

(a – b)² = a² – 2ab + b² (квадрат разности)

(a+b)² = a²+ 2ab + b² (квадрат суммы)

 

Докажем каждую из этих формул.

Первую формулу будем доказывать справа налево, то есть:

(a – b)(a + b) = a (a + b) – b (a + b) = a² + ab - ba + b² = a² – b², значит и a² - b² = ( a – b)(a + b).

 

Докажем вторую формулу:

(a – b)² = (a – b)(a – b) = a(a - b) – b(a - b) = a² – ab - ba + b² =   a² – 2ab + b²  

 

Докажем третью формулу:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a + b) – b(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²  

 

Эти формулы часто используются при преобразовании и упрощение алгебраических выражений.

Приведем некоторые примеры.

 

Пример 1:

Упростить выражение

 +  =  +  =  =  =   = .

 

 

Пример 2:

Найдите значение выражения

(-)= () - 2 + ()= 6 -  - 2+ 6 + = 12 - 2 = 12 - 2•5 = 12 – 10 = 2.

 

Как видим, формулы сокращенного умножения помогают упрощать и преобразовывать выражения.