пятница, 10 января 2020 г.

Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы, квадрат разности

Ответ #1:

 

Для любых a и b верны равенства:

a2 - b2 = (a – b)(a + b) (разность квадратов)

(ab)2 = a2 – 2ab + b2 (квадрат разности)

(a+b)2 = a2+ 2ab + b2 (квадрат суммы)

 

Докажем каждую из этих формул.

Первую формулу будем доказывать справа налево, то есть:

(a – b)(a + b) = a (a + b) – b (a + b) = a2 + ab - ba + b2 = a2 – b2, значит и a2 - b2 = ( a – b)(a + b).

 

Докажем вторую формулу:

(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a(a - b) – b(a - b) = a2 – ab - ba + b2 =   a2 – 2ab + b2  

 

Докажем третью формулу:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) – b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2  

 

Эти формулы часто используются при преобразовании и упрощение алгебраических выражений.

Приведем некоторые примеры.

 

Пример 1:

Упростить выражение

Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности + Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности = Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности + Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности = Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности = Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности =  Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности = Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности.

 

 

Пример 2:

Найдите значение выраженияФормулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности

(Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности-Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности)Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности= (Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности)Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности - 2Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разностиФормулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности + (Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности)Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности= 6 - Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности - 2Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности+ 6 +Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности = 12 - 2Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы,  квадрат разности = 12 - 2•5 = 12 – 10 = 2.

 

Как видим, формулы сокращенного умножения помогают упрощать и преобразовывать выражения.