пятница, 10 января 2020 г.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Ответ #1:

Обозначения:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрииAВС — треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB — его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне а, Р - периметр,

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии — полупериметр, R и r — радиусы соответственно описанном и вписанной окружностей.

S -- площадь фигуры, d1,d2 -— диагонали четырехугольника,

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии — угол между прямыми a и b;

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии — знаки, параллельности. пендикулярности, подобия соответственно.

О — определение, Т — теорема.

Т—1. (Признаки параллельности прямых, рис. (6).

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Две прямые параллельны, если:

  • внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5;
  • внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7;
  • соответственные углы равны: <1 = < 5;
  • сумма внутренних односторонних углов равна 180°: < 2 + < 5= 180°;
  • сумма внешних односторонних углов равна 180°: < 1 + < 6 = 180°.

О-1.Основные определения, теоремы и формулы планиметрииА1В1С1, ~ Основные определения, теоремы и формулы планиметрииАВС (k - коэффициент подобия), если их стороны пропорциональны, а соотиетствепныг углы равны (рис. 7):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—2(признаки подобия). Два треугольника подобны, если:

  • дня угла одного Основные определения, теоремы и формулы планиметрии равны двум углам другого Основные определения, теоремы и формулы планиметрии;
  • дне стороны одного Основные определения, теоремы и формулы планиметрии пропорциональны двум сторонам другого Основные определения, теоремы и формулы планиметрии, а углы, заключенные между этими сторонами, равны;
  • три стороны одного Основные определения, теоремы и формулы планиметрии пропорциональны трем сторонам другого Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Т—3. В подобных треугольниках пропорциональны все их линейные элементы (с одним и тем же k): стороны, медианы, биссектрисы, высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр.

Т—4 (Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки (рис. 8):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—5. Сумма углов треугольника равна 180°.

Т—6. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану на части в отношении 2 : 1, считая от вершины (см. рис. 9):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис. 10):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—8. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

BD : СD = АВ : AС (см. рис. 11).

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—9. Вписанный угол (образованный двумя хордами, исходящими и:> одной. точки окружности) измеряется половиной дуги, на которую он,опирается (рис. 12):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т-10. Центральный угол, образованный двумя радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается (см. рис. 12):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—11. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами (рис. 13):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—12. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности измеряется полуразностыо двух дуг, заключенных между его сторонами (рис. 14):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—13. Касательные, проведенные к окружности из общей точки, расположенной вне окружности, равны: В А = ВС. Угол между двумя касательными (описанный угол) измеряется полуразностыо большей, и меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис. 15):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—14. Угол между двумя хордами с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами,

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

другая — между их продолжениями (рис. 16):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—15. Если две хорды пересекаются внутри круги, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (см. рис. 16):

АО ОB = СО OD.

Т—16. Если из точки вне круга проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть (рис. 17):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—17. В прямоугольном треугольнике (а, b -- катеты, с — гипотенуза. h — высота, опущенная на гипотенузу, аc, bc — проекции катетов па гипотенузу) имеют место (рис. 18):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

1. формула Пифагора:

c2 = a2 + b2

2. формулы

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

3. определение тригонометрических величин (функций) острых углов:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

4. формулы решения прямоугольного треугольника:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

5. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы и

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—18 (теорема синусов).

В произвольном треугольнике (рис. 19)

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т-19 (теорема косинусов).

В произвольном треугольнике (рис. 19):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—20. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—21. Центр окружности, описанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне угла и точке касания. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.

Т—22. Центр окружности, описанной около треугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Т—23. В описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В частности, если равнобочная трапеция описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне.

Т—24. Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°.

Т—25. Площадь треугольника равна

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

T—26. В правильном треугольнике со стороной a:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—27. В правильном n-угольнике (an — сторона n-угольника, R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—28. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

О-2. Две фигуры называются равновеликими, если их площади одинаковы.

Т—29. Медиана делит треугольник на две равновеликие части. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами, делят треугольник на три равновеликие части.

Т—30. В произвольном треугольнике длина медианы вычисляется следующим образом (рис. 19):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т—31. Формулы площадей четырехугольников:

• квадрата со стороной a:

S = a2;

• прямоугольника со сторонами н. н li:

S = a • b;

• параллелограмма со сторонами а и b:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

• ромба со стороной а и острым углом Основные определения, теоремы и формулы планиметрии между сторонами:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

• трапеции с основаниями a и b:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

• выпуклого четырехугольника:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Т-32. Другие формулы:

• площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r:

S = p r;

• площадь круга радиуса R:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

• площадь сектора раствора Основные определения, теоремы и формулы планиметрии° (Основные определения, теоремы и формулы планиметрии рaд):

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

• длина окружности радиуса R:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

• длина дуги и Основные определения, теоремы и формулы планиметрии° или Основные определения, теоремы и формулы планиметрии рад:

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии