Ответ #1:
Обозначения:
AВС — треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB — его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне а, Р - периметр,
— полупериметр, R и r — радиусы соответственно описанном и вписанной окружностей.
S -- площадь фигуры, d1,d2 -— диагонали четырехугольника,
— угол между прямыми a и b;
— знаки, параллельности. пендикулярности, подобия соответственно.
О — определение, Т — теорема.
Т—1. (Признаки параллельности прямых, рис. (6).
Две прямые параллельны, если:
- внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5;
- внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7;
- соответственные углы равны: <1 = < 5;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°: < 2 + < 5= 180°;
- сумма внешних односторонних углов равна 180°: < 1 + < 6 = 180°.
О-1.А1В1С1, ~
АВС (k - коэффициент подобия), если их стороны пропорциональны, а соотиетствепныг углы равны (рис. 7):
Т—2(признаки подобия). Два треугольника подобны, если:
- дня угла одного
равны двум углам другого
;
- дне стороны одного
пропорциональны двум сторонам другого
, а углы, заключенные между этими сторонами, равны;
- три стороны одного
пропорциональны трем сторонам другого
.
Т—3. В подобных треугольниках пропорциональны все их линейные элементы (с одним и тем же k): стороны, медианы, биссектрисы, высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр.
Т—4 (Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки (рис. 8):
Т—5. Сумма углов треугольника равна 180°.
Т—6. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану на части в отношении 2 : 1, считая от вершины (см. рис. 9):
Т—7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис. 10):
Т—8. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:
BD : СD = АВ : AС (см. рис. 11).
Т—9. Вписанный угол (образованный двумя хордами, исходящими и:> одной. точки окружности) измеряется половиной дуги, на которую он,опирается (рис. 12):
Т-10. Центральный угол, образованный двумя радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается (см. рис. 12):
Т—11. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами (рис. 13):
Т—12. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности измеряется полуразностыо двух дуг, заключенных между его сторонами (рис. 14):
Т—13. Касательные, проведенные к окружности из общей точки, расположенной вне окружности, равны: В А = ВС. Угол между двумя касательными (описанный угол) измеряется полуразностыо большей, и меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис. 15):
Т—14. Угол между двумя хордами с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами,
другая — между их продолжениями (рис. 16):
Т—15. Если две хорды пересекаются внутри круги, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (см. рис. 16):
АО • ОB = СО • OD.
Т—16. Если из точки вне круга проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть (рис. 17):
Т—17. В прямоугольном треугольнике (а, b -- катеты, с — гипотенуза. h — высота, опущенная на гипотенузу, аc, bc — проекции катетов па гипотенузу) имеют место (рис. 18):
1. формула Пифагора:
c2 = a2 + b2
2. формулы
3. определение тригонометрических величин (функций) острых углов:
4. формулы решения прямоугольного треугольника:
5. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы и
Т—18 (теорема синусов).
В произвольном треугольнике (рис. 19)
Т-19 (теорема косинусов).
В произвольном треугольнике (рис. 19):
Т—20. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон:
Т—21. Центр окружности, описанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне угла и точке касания. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
Т—22. Центр окружности, описанной около треугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Т—23. В описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В частности, если равнобочная трапеция описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне.
Т—24. Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°.
Т—25. Площадь треугольника равна
T—26. В правильном треугольнике со стороной a:
Т—27. В правильном n-угольнике (an — сторона n-угольника, R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности):
Т—28. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
О-2. Две фигуры называются равновеликими, если их площади одинаковы.
Т—29. Медиана делит треугольник на две равновеликие части. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами, делят треугольник на три равновеликие части.
Т—30. В произвольном треугольнике длина медианы вычисляется следующим образом (рис. 19):
Т—31. Формулы площадей четырехугольников:
• квадрата со стороной a:
S = a2;
• прямоугольника со сторонами н. н li:
S = a • b;
• параллелограмма со сторонами а и b:
• ромба со стороной а и острым углом между сторонами:
• трапеции с основаниями a и b:
• выпуклого четырехугольника:
Т-32. Другие формулы:
• площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r:
S = p • r;
• площадь круга радиуса R:
• площадь сектора раствора ° (
рaд):
• длина окружности радиуса R:
• длина дуги и ° или
рад: