Ответ #1:
Скалярным произведением векторов с координатами
и
с координатами
называется число
·
=
.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1. ·
=
.
2. (+
)·
=
·
+
·
Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними: ·
=
, где
- угол между векторами
и
(иногда эту теорему используют, как определение, а данное нами определение идет, как теорема).
Доказательство:
(+
=(
+
)·(
+
)=(
+
)
+(
+
)
=
+
+2
.
По первому свойству скалярного произведения:
=
+
+2
.
Если мы посмотрим на следующий рисунок, то по теореме косинусов, можно заметить, что =
+
- 2
, а
, а угол
- это угол между векторами
и
.
=
.
Составим уравнение:
+
+2
=
+
- 2
;
+
+2
=
+
+ 2
;
·
=
.