четверг, 2 января 2020 г.

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии

Ответ #1:

 

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый член (начиная со второго) получается из предыдущего путем умножения его на одного и того же число  Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии. Число Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно задать ее первый член Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии и знаменатель Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии.

 

Геометрическая прогрессия возрастает при Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии, убывает при Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии.

 

Примеры геометрических прогрессий:

1. 2, 4, 8, 16… . Здесь первый член равен 1, а знаменатель равен 2.

81, 27, 9, 3, 1, Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии… . Здесь первый член равен 81, а знаменатель равен Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии.

 

Итак, первый член прогрессии равен  Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии, второй - Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии, третий Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии, четвертый Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии…. Таким образом, n-й член прогрессии вычисляется по формуле Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии.

 

Утверждение: Сумма n  членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии

 

Доказательство.

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессииГеометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии+Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии+Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии+Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии+…+Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии.

Умножим Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессиина Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии, получим:

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессииГеометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии+Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии+Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии+…+Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии.

 

Теперь вычтем Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии изГеометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии.

Получим:

 

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии- Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессииГеометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии;

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессииГеометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессииГеометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии;

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессииГеометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии

 

Примеры задач на геометрическую прогрессию.

 

1. Найдите сумму первых 10 членов геометрической прогрессии, если известно, что Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии,Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии.

Решение.

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессииГеометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии

 

2. За одну минуту биомасса увеличивается в 2 раза. Какой вес она будет иметь через  5 минут, если сейчас ее вес 3 кг.

Решение.

Мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии, а Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии. Чтобы решить задачу, нам нужно найти шестой член этой прогрессии.

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессииГеометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии= Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n  членов геометрической прогрессии.

 

Ответ: 96.