Ответ #1:
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый член (начиная со второго) получается из предыдущего путем умножения его на одного и того же число . Число
называют знаменателем геометрической прогрессии. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно задать ее первый член
и знаменатель
.
Геометрическая прогрессия возрастает при , убывает при
.
Примеры геометрических прогрессий:
1. 2, 4, 8, 16… . Здесь первый член равен 1, а знаменатель равен 2.
81, 27, 9, 3, 1, … . Здесь первый член равен 81, а знаменатель равен
.
Итак, первый член прогрессии равен , второй -
, третий
, четвертый
…. Таким образом, n-й член прогрессии вычисляется по формуле
.
Утверждение: Сумма n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле
Доказательство.
+
+
+
+…+
.
Умножим на
, получим:
+
+
+…+
.
Теперь вычтем из
.
Получим:
-
;
;
Примеры задач на геометрическую прогрессию.
1. Найдите сумму первых 10 членов геометрической прогрессии, если известно, что ,
.
Решение.
2. За одну минуту биомасса увеличивается в 2 раза. Какой вес она будет иметь через 5 минут, если сейчас ее вес 3 кг.
Решение.
Мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой , а
. Чтобы решить задачу, нам нужно найти шестой член этой прогрессии.
=
.
Ответ: 96.