Ответ #1:
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Через точку вне данной прямой можно пронести прямую, параллельную этой пряиой, и притом только одну.
Это утверждение сводится к аксиоме о параллельных в плоскости.
Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Падо доказать, что b || с.
Случай, когда прямые а, b и с лежат и одной плоскости, рассмотрен в планиметрии, его опускаем. Предположим, что а, b и с не лежит в одной плоскости. Но так как две параллельные прямые расположены в одной плоскости, то можно считать, что а и b расположены и плоскости , a b и с -- в плоскости
(рис. 61). На прямой с отметим точку (любую) М и через прямую b и точку M проведем плоскость
. Она,
, пересекает
по прямой l. Прямая l не пересекает плоскость
, так как если l пересекала бы
, то точка их пересечения должна лежать на а (а и l — в одной плоскости) и на b (b и l — в одной плоскости). Таким образом, одна точка пересечения l и
должна лежать и на прямой а, и на прямой b, что невозможно: а || b. Следовательно, а ||
, l || а, l || b. Поскольку a и l лежат в одной плоскости
, то l совпадает с прямой с (по аксиоме параллельности), а значит, с || b. Теорема доказана.