Ответ #1:
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки.
Итак, чтобы задать окружность, надо задать точку и расстояние.
Точка, от которой равноудалены все точки окружности, называется центром .
Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности называется радиусом
Прямая, перпендикулярная радиусу и проходящая через точку окружности, называется касательной к окружности.
Примечание. Очевидно, что касательная имеет с окружностью только одну общую точку.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Теорема. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Дано:, О – центр вписанной окружности.
Доказать: лучи АО, ВО, СО – биссектрисы .
Доказательство:
Пусть точки М и N– точки касания окружности со сторонами СВ и СА. Треугольники СМО и CNO – прямоугольные, так как М и N – точки касания. При этом, у них сторона ОС – общая и ОМ = ОN, так как ОМ И ON– радиусы одной окружности. Значит треугольники СОМ и СNOпо гипотенузе и катету. А раз треугольники равны, то и угол NСО равен углу МСО, то есть точка О лежит на биссектрисе угла С. Аналогично докажем, что она лежит и на биссектрисах углов А и В, то есть на пересечении биссектрис.
Теорема. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Дано:, О – центр описанной окружности.
Доказать: О – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам АВ, ВС, АС.
Доказательство:
Опустим перпендикуляр из точки О на отрезок СВ. Основание перпендикуляра обозначим Н. Рассмотрим треугольники СОН и СОВ. Эти треугольник прямоугольные по построению. При этом сторона ОН – общая, а ОС = ОВ, как радиусы одной описанной окружности. Значит треугольники СОН и СОВ равны по катету и гипотенузе. Следовательно, ВН = СН, то есть, ОН – серединный перпендикуляр. Аналогично докажем, что точка О лежит на серединных перпендикулярах к другим сторонам треугольника, то есть является точкой пересечения серединных перпендикуляров.