среда, 25 декабря 2019 г.

Окружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в треугольник и описанная около треугольника

Ответ #1:

 

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки.

Итак, чтобы задать окружность, надо задать точку и расстояние.

Точка, от которой равноудалены все точки окружности, называется центром .

Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности называется радиусом

 

Окружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в  треугольник и описанная около треугольника

 

 

Прямая, перпендикулярная радиусу и проходящая через точку окружности, называется касательной к окружности.

 

Окружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в  треугольник и описанная около треугольника

 

Примечание. Очевидно, что касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

 

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

 

Теорема. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

 

Дано:Окружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в  треугольник и описанная около треугольникаОкружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в  треугольник и описанная около треугольника, О – центр вписанной окружности.

Доказать: лучи АО, ВО, СО – биссектрисы Окружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в  треугольник и описанная около треугольникаОкружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в  треугольник и описанная около треугольника.

 

Окружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в  треугольник и описанная около треугольника

 

 

Доказательство:

Пусть точки М и N– точки касания окружности со сторонами СВ и СА. Треугольники СМО и CNO – прямоугольные, так как М и N – точки касания. При этом, у них сторона ОС – общая и ОМ = ОN, так как ОМ И ON– радиусы одной окружности. Значит треугольники СОМ и СNOпо гипотенузе и катету. А раз треугольники равны, то и угол NСО равен углу МСО, то есть точка О лежит на биссектрисе угла С. Аналогично докажем, что она лежит и на биссектрисах углов А и В, то есть на пересечении биссектрис.

 

Теорема. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

 

Дано:Окружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в  треугольник и описанная около треугольникаОкружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в  треугольник и описанная около треугольника, О – центр описанной окружности.

Доказать: О – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам АВ, ВС, АС.

 

 

Окружность. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в  треугольник и описанная около треугольника

 

Доказательство:

Опустим перпендикуляр из точки О на отрезок СВ. Основание перпендикуляра обозначим Н. Рассмотрим треугольники СОН и СОВ. Эти треугольник прямоугольные по построению. При этом сторона ОН – общая, а ОС = ОВ, как радиусы одной описанной окружности. Значит треугольники СОН и СОВ равны по катету и гипотенузе. Следовательно, ВН = СН, то есть, ОН – серединный перпендикуляр. Аналогично докажем, что точка О лежит на серединных перпендикулярах к другим сторонам треугольника, то есть является точкой пересечения серединных перпендикуляров.