Перпендикулярность прямой и плоскости

Ответ #1:

Прямая а, пересекающая плоскость , называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку О пересечения прямой a и плоскости .

Теорема. Если прямая а перпендикулярна двум прямым b и с, плоскости , проходящим через точку О пересечения а и , то а перпендикулярна .

Пусть дана прямая a и две прямые b и с, лежащие в плоскости : а _|_ b, a _|_ с (рис. 29), О — точка пересечения b и с. Пусть х — другая (отличная от b и с) прямая, лежащая в и проходящая через точку О. Надо доказать, что a _|_ x.

Проводом в плоскости произвольную прямую l, пересекающую прямые b и с и не проходящую через точку О. Обозначим В = lb, С = l с и X = l х. Берем на а две точки А₁ и А₂, так что OА₁ = ОА₂ (А₁ и А₂ — по разные стороны от . Рассмотрим образовавшиеся треугольники.

1. А₁ОВ = А₂ОВ как прямоугольные треугольники с ранными катетами. Значит, А₁В = А₂В.

2. А₁ОС = А₂ОС по аналогичной причине. Отсюда А₁С = А₂С.

3. А₁СВ = А₂СВ по трем сторонам. Значит, < А₁BC = < А₂BC .

4. Обратимся к треугольникам А₁BX и А₂BX. В них А₁B = А₂B, ВХ — общая, < А₁BX = < А₂BX (по первому признаку). Отсюда следует, что А₁X = А₂X. Значит, А₁XА₂ - равнобедренный, О — середина А₁А₂. Значит, ОX - медиана, а тогда и высота, равнобедренного треугольника. Следовательно, a _|_ х.