воскресенье, 29 декабря 2019 г.

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

Ответ #1:

 

Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.

 

Аксиома. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую параллельную этой прямой, и притом только одну.

 

Теорема. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

 

Дано: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей,Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущейи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей- прямые.

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей||Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей||Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Доказать: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей||Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

 

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей

 

 

Доказательство:

Предположим, что прямые  Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущейиПараллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Значит, через точку М проходят две прямые, параллельные прямой Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей, что противоречит аксиоме, приведенной выше.

 

Дадим визуальное определение накрест лежащих, соответственных  и односторонних углов.

На следующем рисунке прямые Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущейиПараллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущейпересечены секущей прямой Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей

 

При этом,  углы 7 и 3, 2 и 6 – накрест лежащие; углы 1и 3, 2 и 4, 8 и 6, 7 и 5 – соответственные; а углы 7 и 6, 2 и 3 - односторонние.

 

Теорема. Если при пересечении двух прямых  третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

 

Дано: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей,Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущейи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей- прямые,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей- секущая,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей и Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей и Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей - накрест лежащие,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей = Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей = Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Доказать: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей||Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

 

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей

 

 

Доказательство:

Предположим, что прямые пересекаются в некоторой точке М, образуя треугольник АВМ. Раз Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей = Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей = Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей, АВ – сторона общая, то должен существовать другой треугольник АВМ1,  равный треугольнику АВМ, но отличный от него, при этом, стороны этого треугольника должны лежать на прямых Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущейи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей. Получается, что прямые Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущейи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей пересекаются в двух различных точках, чего быть не может (две прямые могут пересекаться только в одной точке). Получаем противоречие, значит прямые параллельны.

 

Теорема. Если, при пересечении двух прямых третьей, сумма внутренних односторонних углов равна Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей,то прямые параллельны.

 

Дано: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей,Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущейи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей- прямые,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей- секущая,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей иПараллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей - внутренние односторонние,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей + Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей= Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Доказать: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей||Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

 

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей

 

 

Доказательство:

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей + Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей= Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей(по условию), значит Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей= Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей-Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей + Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей= Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей(как смежные), значитПараллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей= Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей-Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Получается, чтоПараллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей = Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей. Эти углы внутренние накрест лежащие, значит, по предыдущей теореме, прямые параллельны.

 

Теорема. Если при пересечении двух прямых третьей, соответственные углы равны,то прямые параллельны

 

Дано: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей,Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущейи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей- прямые,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей- секущая,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей иПараллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей - соответственные,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей = Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Доказать: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей||Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей

 

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей

 

 

Доказательство:

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей = Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей(по условию).

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей = Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей(как вертикальные)

Значит, Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей = Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей, а эти углы накрест лежащие. Значит, по первой теореме, прямые параллельны.

Верна и обратная теорема.

 

Если две параллельные прямые пересечены третей, то внутренние накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

 

Докажем эту теорему только для внутренних накрест лежащих углов, для остальных случаев доказательство аналогично.

Дано: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей,Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущейи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей- прямые,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей- секущая, Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей||Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей,

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей и Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей  внутренние накрест лежащие.

Доказать: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей = Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

 

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства  углов,  образованных при пересечении параллельных прямых секущей

 

 

Доказательство:

Пусть точка А – точка пересечения прямых a и c. Проведем через точку А прямую mтак, чтобы внутренние накрест лежащие углы были равны. По признаку параллельности прямых, прямые m и b параллельны. Значит, через точку А проходит две параллельные прямой b, а такого быть не может. Значит, m и a совпадают.