Ответ #1:
Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Аксиома. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую параллельную этой прямой, и притом только одну.
Теорема. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
Дано: ,
и
- прямые.
||
,
||
.
Доказать: ||
.
Доказательство:
Предположим, что прямые и
не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Значит, через точку М проходят две прямые, параллельные прямой
, что противоречит аксиоме, приведенной выше.
Дадим визуальное определение накрест лежащих, соответственных и односторонних углов.
На следующем рисунке прямые и
пересечены секущей прямой
.
При этом, углы 7 и 3, 2 и 6 – накрест лежащие; углы 1и 3, 2 и 4, 8 и 6, 7 и 5 – соответственные; а углы 7 и 6, 2 и 3 - односторонние.
Теорема. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Дано: ,
и
- прямые,
- секущая,
и
,
и
- накрест лежащие,
=
,
=
.
Доказать: ||
.
Доказательство:
Предположим, что прямые пересекаются в некоторой точке М, образуя треугольник АВМ. Раз =
,
=
, АВ – сторона общая, то должен существовать другой треугольник АВМ1, равный треугольнику АВМ, но отличный от него, при этом, стороны этого треугольника должны лежать на прямых
и
. Получается, что прямые
и
пересекаются в двух различных точках, чего быть не может (две прямые могут пересекаться только в одной точке). Получаем противоречие, значит прямые параллельны.
Теорема. Если, при пересечении двух прямых третьей, сумма внутренних односторонних углов равна ,то прямые параллельны.
Дано: ,
и
- прямые,
- секущая,
и
- внутренние односторонние,
+
=
.
Доказать: ||
.
Доказательство:
+
=
(по условию), значит
=
-
.
+
=
(как смежные), значит
=
-
.
Получается, что =
. Эти углы внутренние накрест лежащие, значит, по предыдущей теореме, прямые параллельны.
Теорема. Если при пересечении двух прямых третьей, соответственные углы равны,то прямые параллельны
Дано: ,
и
- прямые,
- секущая,
и
- соответственные,
=
.
Доказать: ||
Доказательство:
=
(по условию).
=
(как вертикальные)
Значит, =
, а эти углы накрест лежащие. Значит, по первой теореме, прямые параллельны.
Верна и обратная теорема.
Если две параллельные прямые пересечены третей, то внутренние накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна .
Докажем эту теорему только для внутренних накрест лежащих углов, для остальных случаев доказательство аналогично.
Дано: ,
и
- прямые,
- секущая,
||
,
и
внутренние накрест лежащие.
Доказать: =
.
Доказательство:
Пусть точка А – точка пересечения прямых a и c. Проведем через точку А прямую mтак, чтобы внутренние накрест лежащие углы были равны. По признаку параллельности прямых, прямые m и b параллельны. Значит, через точку А проходит две параллельные прямой b, а такого быть не может. Значит, m и a совпадают.