Ответ #1:
Попытаемся вычислить площадь фигуры, изображенную на следующем рисунке.
Эта фигура ограничена графиком функции , прямыми
,
,
. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.
Пусть - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
,
,
.
Тогда, площадь криволинейной трапеции, изображенной на следующем рисунке, будет равна -
.
При этом, если очень мало, то площадь этой фигуры будет примерно равна площади прямоугольника NMt(t+h), а эта площадь равна
.
Итак, при очень маленьком hимеем: -
=
.
Правая часть равенства, при h, стремящемся к нулю, есть ни что иное как производная от функции в точке
. То есть,
=
. Значит,
- это первообразная от
:
=
. И тогда площадь криволинейной трапеции
=
-
.
Разность -
называют определенным интегралом.
Обозначают определенный интеграл так:
=
-
-эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница, а числа aиbназывают пределами интегрирования.
Пример:
Найти площадь фигуры ограниченной линиями ,
,
,
.
Изобразим эту площадь на рисунке.
По формуле Ньютона-Лейбница:
.
Ответ: .