вторник, 31 декабря 2019 г.

Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница

Ответ #1:

 

Попытаемся вычислить площадь фигуры, изображенную на следующем рисунке.

 

Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница

 

Эта фигура ограничена графиком функции Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница, прямыми Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница, Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница, Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

 

Пусть Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница- это площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница, Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница, Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница, Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

 

Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница

 

Тогда, площадь криволинейной трапеции, изображенной на следующем рисунке, будет равна Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница - Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница

 

При этом, если Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбницаочень мало, то площадь этой фигуры будет примерно равна площади прямоугольника NMt(t+h), а эта площадь равна  Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

Итак, при очень маленьком hимеем:Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница - Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница=Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-ЛейбницаПлощадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

Правая часть равенства, при h, стремящемся к нулю, есть ни что иное как производная от функции Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница в точке Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. То есть,Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница= Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Значит, Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница- это первообразная от Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница: Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница=Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. И тогда площадь криволинейной трапеции  Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница=Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница-Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

 

 Разность Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница-Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбницаназывают определенным интегралом.

 

Обозначают определенный интеграл так:

Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница=Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница-Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница-эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница, а числа aиbназывают пределами интегрирования.

 

Пример:

Найти площадь фигуры ограниченной линиями Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница, Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница, Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница, Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

Изобразим эту площадь на рисунке.

 

Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница

 

По формуле Ньютона-Лейбница:

Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

 

Ответ: Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.