Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница

Ответ #1:

 

Попытаемся вычислить площадь фигуры, изображенную на следующем рисунке.

 

 

Эта фигура ограничена графиком функции , прямыми , , . Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

 

Пусть - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , .

 

 

Тогда, площадь криволинейной трапеции, изображенной на следующем рисунке, будет равна  - .

 

При этом, если очень мало, то площадь этой фигуры будет примерно равна площади прямоугольника NMt(t+h), а эта площадь равна  .

Итак, при очень маленьком hимеем: - =.

Правая часть равенства, при h, стремящемся к нулю, есть ни что иное как производная от функции  в точке . То есть,= . Значит, - это первообразная от : =. И тогда площадь криволинейной трапеции  =-.

 

 Разность -называют определенным интегралом.

 

Обозначают определенный интеграл так:

=--эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница, а числа aиbназывают пределами интегрирования.

 

Пример:

Найти площадь фигуры ограниченной линиями , , , .

Изобразим эту площадь на рисунке.

 

 

По формуле Ньютона-Лейбница:

.

 

Ответ: .