Ответ #1:
Рассмотрим некоторую окружность радиуса R.
Впишем в нее правильный n-угольник и опишем вокруг нее правильный n-угольник. Длина стороны вписанного n-угольника (по соотношениям между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике) будет равна 
, а описанного 
. Тогда периметр вписанного многоугольника 
, а описанного
. Очевидно, что длина окружности будет больше периметра вписанного треугольника и меньше периметра описанного. Теперь возьмем очень большое 
. Очевидно, что при очень большом , число 
будет почти близко к нулю. А, как известно, 
, значит, 
. Получается, что длина окружности с одной стороны больше, а с другой стороны, меньше, чем . Это может быть только, если длина окружности будет равна . Величина 
при очень большом приблизительно равна 3,1416… Это число называют 
.
Число иррациональное. Чтобы знать его цифры дальше 3,1415, можно выучить такое небольшое стихотворение: " Это я знаю и помню прекрасно, «пи» многие знаки мне лишни, напрасны» Сколько в слове букв, такую цифру нужно писать.
«это»-3, «я»-1 и так далее. Получится число: 3,14159265358…
Итак, длина окружности равна 2 R.
Для вычисления площади круга, тоже впишем и опишем правильные n-угольники.
Площадь описанного многоугольника будет равна 
, а вписанного 
.
Рассуждая как в предыдущем примере, получим, что площадь круга равна 