Ответ #1:
Рассмотрим некоторую окружность радиуса R.
Впишем в нее правильный n-угольник и опишем вокруг нее правильный n-угольник. Длина стороны вписанного n-угольника (по соотношениям между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике) будет равна , а описанного
. Тогда периметр вписанного многоугольника
, а описанного
. Очевидно, что длина окружности будет больше периметра вписанного треугольника и меньше периметра описанного. Теперь возьмем очень большое
. Очевидно, что при очень большом
, число
будет почти близко к нулю. А, как известно,
, значит,
. Получается, что длина окружности с одной стороны больше
, а с другой стороны, меньше, чем
. Это может быть только, если длина окружности будет равна
. Величина
при очень большом
приблизительно равна 3,1416… Это число называют
.
Число иррациональное. Чтобы знать его цифры дальше 3,1415, можно выучить такое небольшое стихотворение: " Это я знаю и помню прекрасно, «пи» многие знаки мне лишни, напрасны» Сколько в слове букв, такую цифру нужно писать.
«это»-3, «я»-1 и так далее. Получится число: 3,14159265358…
Итак, длина окружности равна 2 R.
Для вычисления площади круга, тоже впишем и опишем правильные n-угольники.
Площадь описанного многоугольника будет равна , а вписанного
.
Рассуждая как в предыдущем примере, получим, что площадь круга равна